集合(創立於19世紀的數學概念)
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集合（英文：set），簡稱集，是集合論的主要研究對象。一般地，集合是將一些對象放在一起作為一個整體來考慮，組成集合的對象稱為這個集合的元素或簡稱元。
集合思想可以追溯到古希臘的原子論學派，他們將直線看成一些原子的排列。到了16世紀，伽利略發現正整數可以同正整數的平方構成一一對應，當時無窮集合的這一性質被看成與「整體大於部分」這一公理相悖，而稱為伽利略悖論。19世紀初，在傅里葉、黎曼、狄利克雷等人的工作中，已經出現了由具有某些共同性質的點或函數構成的集合。1851年，波爾查諾發表的《無窮悖論》建立集合等價的概念。1870年，康托爾開始研究「函數的三角級數表示的惟一性問題」，並在1871年至1872年，他把三角級數展開的惟一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況，明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的愈來愈複雜的集合。1873年，康托爾已證明了實數集是不可數的。而且在1874年，康托爾提出集合的定義。此後，集合成了明確獨立的數學研究對象，集合論這個新的數學學科從此誕生。自集合的概念出現后，又出現了子集、冪集、交集、並集、笛卡兒積、關係、映射等一系列概念，後來一些數學家發現經研究發現集合的概念過於一般，產生了一些悖論，這些悖論促進了數學家用公理化方法對集合的概念予以合理的限制，並得到現今通用的策梅洛-弗蘭克爾公理系統。
集合的類型有空集、全集、無序對、單元集、有序對、集族等，集合與元素的特點有4種，例如一個集合中的不同元素是可區別的，是彼此獨立的單體。集合間的關係有子集、並集、集合的相等以及冪集等。集合的表達方法有三種，分別是列舉法、描述法、圖示法。集合的運算又可以分為交運算、並運算、補運算、減運算、對稱差、叉運算等，其中並運算和交運算可以推廣至集合的廣義並與廣義交。
集合在計算機、電子技術、醫學、金融等其他領域有着廣泛的應用。例如在臨床診斷中運用集合的方法，可以為臨床診斷提供一個科學、規範化的操作模式。
簡史
集合概念的誕生
集合思想可以追溯到古希臘的原子論學派，他們將直線看成一些原子的排列。在中世紀，已有人注意到：如果從兩個同心圓的中心出發作射線，那麼這些射線就在兩個圓周上的點之問建立了一一對應，然而兩圓周的長度是不相等的。到了16世紀，伽利略發現正整數可以同正整數的平方構成一一對應，當時無窮集合的這一性質被看成與「整體大於部分」這一公理相悖，而稱為伽利略悖論。
19世紀初，在傅里葉、黎曼、狄利克雷等人的工作中，已經出現了由具有某些共同性質的點或函數構成的集合。 此時期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發表的《無窮悖論》肯定了實無窮的存在，並建立集合等價的概念，還注意到了無窮集合的某些真部分有可能等價於整體的情況。1870年，康托爾開始研究「函數的三角級數表示的惟一性問題」，康托爾在1871年至1872年的論文中，將把三角級數展開的惟一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況。他把函數問斷點問題的研究過渡到對點集本身的研究，明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的愈來愈複雜的集合。
1873年，康托爾已證明了實數集是不可數的。而且在1874年，康托爾提出集合的定義：「一個集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區分的對象（它們稱為集合的元索）彙集在一起，作為一個整體來考慮的結果。」此後，集合成了明確獨立的數學研究對象，集合論這個新的數學學科從此誕生。自集合的概念出現后，可以進一步定義集合的子集、冪集、交集、並集、笛卡兒積、關係、映射等一系列概念，並由此發展了集合的各種理論。康托爾還成功使用一一對應的方法來比較無窮集合的大小，揭示了無窮集合與有窮集合本質的區別：部分可以等價於全體，他斷言無窮集合也是客觀上的實體。1895年和1897年，康托爾發表題為《關於超窮集合論的基礎》的論文，定義了基數和序數的加法、乘法及乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。至此，康托爾完成了集合論的基本內容。
後續發展
經過研究發現集合的概念過於一般，產生了一些悖論，比如1897年的布拉利·福爾蒂悖論。這些悖論給集合論帶來的困難，促進了數學家用公理化方法對集合的概念予以合理的限制。1908年，數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）給出了第一個公理系統，后經馮·諾伊曼（von Neumann,J.）將這些公理形式化，得到現今通用的策梅洛-弗蘭克爾公理系統，簡稱ZF系統。該系統可以導出康托爾集合論里幾乎所有結果，並排除已知的悖論。
定義
一般地，集合是將一些對象放在一起作為一個整體來考慮，組成集合的對象稱為這個集合的元素或簡稱元。若是集合的元素，則稱屬於記為若不是集合的元素，記為當某一集合的元素為時，可寫作稱集合由元素聚合而成。由所有具有某一性質的對象聚合而成的集合，通常記為（或）。通常用大寫拉丁字母表示集合，用小寫拉丁字母表示集合中的元素。
性質
確定性
確定性是指任何一個元素是否屬於某個集合是確定的，即或者是這個集合的元素，或者不是，二者必居其一。
互異性
互異性是指一個集合的各個元素是可以互相區分開的，並且每個元素只能出現一次。如果某個元素在集合中多次出現，也只能看作一個元素，也只能看作一個元素，如集合{1,2,3,2}就等同於集合{1,2,3}。
無序性
無序性是指一個集合中所有元素之間的排列次序是任意的，即集合的表示形式不是唯一的，如集合{1,2,3}和集合{2,1,3}是同一個集合。
集合與元素的特點
康托爾認為組成集合的元素可以是任何直觀的事物，也可以是任何抽象的對象。集合也可以作為其他集合的元素。集合與其元素之間有如下特點：
特點1：一個集合由一定範圍內的元素組成，完全被這些元素所確定（即集合的外延性），而一個元素是否屬於某一集合是確定的，即與有且僅有一個成立；
特點2：一個集合中的不同元素是可區別的，是彼此獨立的單體；
特點3：集合是由它的元素組成的整體，有別於它的任何元素。即使集合只有一個元素也應認為
特點4：不含任何元素的集合稱為空集，記為
類型
空集
不擁有任何元素的集合稱為空集合，簡稱為空集，記為可用符號表述為：或
空集是一切集合的子集，且空集是惟一的。
全集
全集亦稱通用集、宇宙集、萬有集、個體域或論域，它包含所討論的問題中涉及的所有集合。當事先給定一個集合併且約定只限於討論的元素或子集時，就把稱為該理論的論域或全集。常用字母等表示，取做全集可用符號表述為
無序對
無序對即僅含兩個元素的集合。對於任意的兩個對象（集合）和集合稱為對象和的無序對。
有序對
有序對亦稱序偶，即以一種確定的次序給出的兩個客體的集合稱為序偶。按先後的順序給出客體與得到的序偶記為兩序偶相等，當且僅當
單元集
單元集亦稱單元素，即只含有一個元素的集合。元素組成的單元集記為單元集可以看做是無序對集合的特例，即
集族
集族是以集合為元素的集合稱為集族。例如，集的是一個集族。都是集族。
有限集合
有限集合亦稱有窮集合。如果集合是由有限多個元素組成，則稱是有限集和，簡稱有限集。
無限集合
無限集合亦稱無窮集合。如果一個集合是由無限多個元素組成，則稱是無限集合，簡稱無限集。
集合間的關係
集合的包含
子集是指兩個具有包含關係的集合中的被包含者。對於集合與若中的每個元素都是的元素，則稱是的子集，記為若且即中的元素都在中，而中存在不屬於的元素，則稱為的真子集，記為
冪集：設是任意給定的集合，則由其所有子集構成的集合稱為的冪集合，簡稱冪集。記為冪集有重要的性質：即康托爾定理，還可以寫成其中和分別是和的勢。
集合的相等
集合的相等，即集合間的等同關係。兩集合相等，當且僅當它們含有相同的元素，集合與集合相等，記為
兩集合不相等，記為關於集合的等同關係的普遍原則通常稱為集合的外延性原則或外延公理，它可以用符號表示為：集合的相等關係具有自反性、對稱性與傳遞性。
集合的運算
映射定義：映射亦稱函數，是一種特殊的關係。設是從到的關係，的定義域為且對任何都有惟一的滿足則稱為從到的映射。
集合的運算是指集合的交、並、差、補等運算的統稱，是由已知集合構造新集合的一種規則。設為一個集族，映射
為集族的一元運算，映射為集族的二元運算。對於全集的冪集合常討論的運算如下：
交運算
交運算又稱集合乘法，是映射
兩個（或多個）集合經交運算所得到的集合，稱為交集，記為
運算法則/性質：
例如：設求
解：
並運算
並運算又稱集合加法，是映射
兩個（或多個）集合經並運算所得到的集合，稱為並集，記為
運算法則/性質：
例如：設求
解：
補運算
補運算是指從一個集求出它補集的運算，可用映射表示。把冪集中的每個集合映射為它的補集稱其為的一元運算。
全集與集的差集稱為的補集，記為
運算法則/性質：
例如：設求
解：已知，所以
減運算
減運算是指從兩個已知集合與求其差集的運算，可用映射表示。
兩個集合經過減運算所得的集合，稱為差集，記為
運算法則/性質：
例如：則
對稱差
集合的對稱差稱集合的不可兼并。集合或稱為集合與集合的對稱差，記為
可用映射表示。
運算法則/性質：
例如：則
叉運算
叉運算，是映射
集合與的對稱差的補集稱為與的叉集，記為可用符號表示為：
運算法則/性質：
集合的表示法
集合的表示法，也就是集合的表達形式，即給出一個集合和組成這個集合的元素的表示方法。表示集合的方法有三種：
列舉法
列舉法又稱外延法。把集合的元素一一列舉出來，寫在大括號「」內，並用逗號「」把它們彼此分開。例如，小於10的素數集合可表示為在用列舉法表示一個無限集或元素很多的集的時候常用省略號。這時,要注意表示的明確性，要能從已經列舉的元素中知道被省略的元素是什麼。在用列舉法表示集合時，元素的次序無關緊要，但不允許重複。
描述法
描述法又稱特徵性質法或內涵法，利用概括原則指出確定集合元素的特徵性質從而給出集合的方法稱為描述法。具有性質的所有元素組成的集合記為其中表示集合中元素的特徵性質。
圖示法
圖示法，如維恩圖法。用圓、橢圓、矩形或其他封閉曲線圍成的區域表示集合。
如圖所示，矩形表示全集曲線包圍的區域表示集合等。
常用數集及其記法
推廣
集合的廣義並
集合的廣義並是並概念的推廣。設是標號集，為集族，是到的一一對應，且由集族
中的集合的元素組成的集合稱為族中集合的廣義並集，記為用符號表述為：
集合的廣義交
集合的廣義交是交概念的推廣。設是標號集，為集族，是到的一一對應，且由屬於族中的每個集合的元素組成的集合稱為族中集合的廣義交集，記為用符號表述為：
應用
計算機
集合（Set）是Java中一個很重要的可以用來存儲和處理無重複元素的高效的數據結構。比如說可以存儲和處理一個單位的部門名稱，存儲和處理一個國家的省城名稱等。集合是一個接口，它繼承了Collection接口中所有的方法。雖然集合本身不能實例化，但可以作為類型使用，只是規定其實例不能包含重複的元素。在實際應用中，如果需要用集合來存儲和處理對象，則該對象的原類除了包含正常封裝的數據成員，一些必要的業務處理的方法外，還需要重寫 hashCode()和 equals()方法；如果業務上還要求需要有序存儲，那麼對象的原類還必須實現Comparable接口，實現從接口繼承的compareTo()方法。集合有三個實現的具體的子類，分別是HashSet、LinkedHashSet和TreeSet，這三個類也是必須確保不能向集合中添加重複的元素。
電子技術
邏輯函數是《數字電子技術》課程教學中的基礎內容，邏輯函數的化簡對整個電路的設計起着至關重要的作用，化簡的方法主要有公式法和卡諾圖法，卡諾圖的直觀易懂使得卡諾圖化簡法更受青睞。數學集合的交集與卡諾圖化簡過程中的圈圖具有很大的共性，研究數學集合的交集在卡諾圖化簡中的應用具有很大的意義。應用數學集合的交集后，卡諾圖的化簡法才是真正意義上的圖形化簡法，也更加容易記憶。對於多變量的邏輯函數，應用交集后卡諾圖只需記住每個變量在圖中的位置，比應用交集之前需記住每個最小項的具體位置更加簡單容易。而且在合併最小項時，利用交集可以很快把每個圈對應的表示寫出，傳統方法還需要藉助公式法進行合併。
醫學
醫生在疾病診斷過程中，首先是收集病史、癥狀、體征、實驗室檢查結果、藥物診斷性治療結果等疾病的臨床資料。醫生需要根據這些資料，提出與之相應的一組或幾組全部可能待鑒別的疾病，進而逐步分析，排除可能性較小的疾病，最後肯定一個可能性最大的疾病，直至確診。這一過程，可以用集合論的方法完成。為實現用集合論的方法進行臨床診斷，需要建立「病狀」的概念，也就是一個集合，而由病狀提出的全部可能待鑒別的疾病或全部否定的疾病，可看做集合的元素，而後根據集合的基本運算原理最後得出患者的診斷結果。將集合論基本原理應用於臨床鑒別診斷中，可以為臨床診斷提供一個科學、規範化的操作模式，把諸多貌似散亂的臨床資料有機統一起來，使經驗上升為理性，將誤診率降低至最低限度。
金融
在會計學基礎的教學中，會計帳戶的分類是一個難點，因會計學對賬戶分類沒有一個嚴格定義，導致了理解上的偏差，這是造成觀點分歧、帳戶分類混亂的主要原因。學者鄧先禮等人將集合分類的定義應用於會計帳戶的分類，將賬戶分類定義為：在給定的準則下，將全體帳戶的集合劃分為若干個叫做類的子集，使得每一個帳戶屬於而且只屬於一個類。因此，按照該定義，可以對賬戶進行正確的分類，對於會計理論學習和會計實務都有很大好處。財政部所頒佈的企業會計制度對會計帳戶所作的分類就是一個很好的典範。
